Wäre ein fünftes Glas ohne Gegenstand der Gewinner?

Ja, sofern es innen mit den anderen Gläsern identisch ist und dieselbe Wasserhöhe hat. Ohne Gegenstand steht der gesamte Innenraum bis zur Vergleichslinie für Wasser zur Verfügung. Diese Antwort folgt unmittelbar aus der Raumbilanz und setzt voraus, dass keine weiteren Unterschiede zwischen den Gefäßen bestehen.

Ändert Drehen die Verdrängung eines vollständig eingetauchten Radiergummis?

Im vereinfachten Modell eines festen Körpers ohne eingeschlossene Luft bleibt sie gleich. Ob der Radiergummi längs oder quer liegt, verändert sein Volumen nicht. Anders kann es aussehen, wenn durch das Drehen ein Teil aus dem Wasser ragt oder zuvor eingeschlossene Luft entweicht.

Was wäre, wenn zuerst überall gleich viel Wasser eingefüllt würde?

Dann wäre die Ausgangsbedingung eine andere. Bei identischen Gläsern würde ein anschließend eingetauchter Gegenstand den Wasserstand entsprechend seinem verdrängten Volumen anheben, solange nichts überläuft. Die Wassermenge bliebe dabei gleich. Im beschriebenen Rätsel wird dagegen dieselbe endgültige Wasserhöhe verglichen.

Kann man die Wassermenge einfach am Gesamtgewicht erkennen?

Eine Waage unter dem gefüllten Glas erfasst Glas, Gegenstand und Wasser gemeinsam. Ohne die einzelnen Massen auseinanderzuhalten, beantwortet diese Anzeige die Rätselfrage nicht. Ein schwerer Gegenstand kann das Gesamtgewicht erhöhen, obwohl im Gefäß weniger Wasser enthalten ist. Gesucht ist hier ausdrücklich das Wasservolumen.

Muss für die Lösung die genaue Größe der Büroklammer bekannt sein?

Für eine genaue Milliliterzahl ja. Für die qualitative Lösung genügt die begründete Annahme, dass ihr verdrängtes Volumen kleiner ist als das aller anderen Gegenstände. Ist dieser Größenvergleich aus der Darstellung nicht erkennbar, bleibt die Antwort bedingt. Die Gegenstandsnamen allein sind keine vollständigen Messdaten.

Vier-Gläser-Wassertest: Lösung und Wasserverdrängung erklärt

Vier gleich hoch gefüllte Gläser mit Büroklammer, teilweise eingetauchtem Baseball, Radiergummi und Armbanduhr.

Das Glas mit der Büroklammer enthält unter den üblichen Rätselannahmen am meisten Wasser. Voraussetzung: Die vier Gläser haben denselben Innenraum bis zur gemeinsamen Wasserlinie, und die Büroklammer verdrängt weniger Wasser als Baseball, Radiergummi und Armbanduhr. Gleiche Wasserhöhe allein bedeutet also noch keine gleiche Wassermenge.

Die beschriebene Aufgabe zeigt vier gleich hoch gefüllte Wassergläser mit unterschiedlichen Gegenständen. Für eine exakte Auswertung fehlen jedoch Maße und eine überprüfbare Originalabbildung. Deshalb lässt sich die gedachte Lösung erklären, ohne eine bestimmte Buchstabenzuordnung oder Milliliterzahl zu behaupten. Der entscheidende Vergleich lautet: Wie viel Platz bleibt unterhalb der Wasserlinie tatsächlich für Wasser?

Was bei diesem Rätsel miteinander verglichen wird

Die Frage richtet sich nach der enthaltenen Wassermenge. Weder das Gesamtgewicht des gefüllten Glases noch die Größe des sichtbaren Gegenstands ist unmittelbar gesucht. Für die Erklärung bezeichnen wir die Gefäße deshalb nach ihrem Inhalt: Büroklammerglas, Baseballglas, Radiergummiglas und Uhrenglas. So bleibt die Lösung verständlich, auch wenn eine andere Darstellung die Gegenstände anders anordnet.

Gedanklich werden alle vier Gefäße bis zu derselben Höhe betrachtet. Dieser Raum besteht teilweise aus Wasser und teilweise aus dem eingetauchten Gegenstand. Erst wenn man beide Anteile auseinanderhält, wird der Vergleich sinnvoll. Bei identischen Gefäßen ist der verfügbare Gesamtraum bis zu dieser Höhe gleich; seine Aufteilung kann trotzdem verschieden sein.

Vergrößerte Büroklammer im Wasserglas; zwischen ihren Drahtschlaufen ist Wasser sichtbar.

Die entscheidende Rechnung ist eine Raumbilanz

Volumen beschreibt einen dreidimensionalen Raum. Für einen Zylinder ergibt es sich aus Grundfläche mal Höhe; die NASA erläutert diese geometrische Beziehung auf ihrer Lehrseite über Volumen. Auf das Rätsel übertragen lässt sich daraus eine einfache Bilanz bilden:

Wasservolumen = Innenvolumen bis zur Wasserlinie − verdrängtes Volumen.

Diese Rechnung setzt das vereinfachte Modell einer ruhenden Wasserfüllung voraus. Gemeint ist mit dem verdrängten Volumen der Raum unterhalb der Oberfläche, in den kein Wasser gelangen kann, weil ihn der Gegenstand beziehungsweise ein abgeschlossener Hohlraum beansprucht. Ist der erste Wert für alle vier Gläser gleich, entscheidet ausschließlich der zweite über die Rangfolge. Ein kleinerer abzuziehender Wert lässt mehr Wasser übrig.

Warum die Büroklammer die naheliegende Lösung ist

Eine gewöhnliche Büroklammer besteht aus dünnem, gebogenem Draht. Wasser kann zwischen ihre Drahtschlaufen gelangen. Für die Raumbilanz zählt deshalb nicht die gesamte rechteckige Fläche, die man um ihre äußeren Kanten zeichnen könnte. Entscheidend ist der tatsächlich vom eingetauchten Draht beanspruchte Raum.

Das erklärt ihre Rolle im Rätsel: Unter der Annahme üblicher Gegenstandsgrößen ist ihre Verdrängung gegenüber den anderen dargestellten Objekten klein. Der Wasseranteil kann entsprechend groß sein. Diese Anwendung der Raumbilanz ist eine begründete Modelllösung, keine Messung an den konkreten Gegenständen. Eine außergewöhnlich große Klammer oder eine winzige Modelluhr müsste man erneut vergleichen. Die Bezeichnung eines Gegenstands liefert schließlich noch keine genaue Volumenangabe.

Welche Voraussetzungen die Antwort braucht

Bevor man einen Gewinner benennt, lohnt sich ein Blick auf die Bedingungen der Aufgabe. Die folgenden Fragen machen aus einer schnellen Vermutung eine nachvollziehbare Begründung:

Gleicher Innenraum: Sind die Gläser innen tatsächlich gleich geformt und gleich groß?
Gleiche Wasserhöhe: Liegt die Oberfläche überall auf derselben Höhe über dem inneren Glasboden?
Erkennbare Eintauchung: Welcher Teil jedes Gegenstands befindet sich unter Wasser?
Zugängliche Zwischenräume: Kann Wasser zwischen Drahtschlaufen, unter ein geöffnetes Armband oder in andere offene Bereiche gelangen?
Passende Vergleichsfrage: Geht es um das vorhandene Wasser oder um das Fassungsvermögen des gesamten Gefäßes?

Eine identische Eintauchtiefe aller vier Gegenstände ist dagegen nicht erforderlich. Ihre Formen sind unterschiedlich. Benötigt wird das jeweils tatsächlich verdrängte Volumen, nicht derselbe Abstand ihrer Oberkanten zur Wasserlinie.

Vier Wassergläser; beim schwimmenden Baseball ist nur der unter Wasser liegende Teil farblich hervorgehoben.

Ein erfundenes Zahlenbeispiel macht die Lösung sichtbar

Nehmen wir vier identische Gefäße an, die ohne Gegenstände bis zu einer gemeinsamen Markierung jeweils 400 Milliliter Wasser aufnehmen. Für ein reines Rechenmodell setzen wir die verdrängten Volumina auf 1, 30, 50 und 150 Milliliter. Diese Zahlen sind frei gewählt und beschreiben weder die abgebildete Büroklammer noch einen bestimmten Baseball, Radiergummi oder eine bestimmte Uhr.

Bis zur Markierung bleiben dann 399, 370, 350 beziehungsweise 250 Milliliter Wasser im jeweiligen Gefäß. Alle vier Oberflächen stehen gleich hoch, obwohl sich die Wassermengen deutlich unterscheiden. Das Glas mit einem Milliliter Verdrängung enthält in diesem Modell am meisten Wasser.

Auch Differenzen lassen sich direkt ablesen: Zwischen 30 und 50 Millilitern Verdrängung liegen 20 Milliliter. Deshalb enthält das erste dieser beiden Gläser bei gleichem Innenraum 20 Milliliter mehr Wasser. Man muss das gesamte Glasvolumen für diesen paarweisen Unterschied nicht einmal kennen. Es genügt, dass es bis zur Vergleichshöhe identisch ist.

Was das archimedische Prinzip dazu beiträgt

Wasserverdrängung und Auftrieb hängen zusammen, beantworten aber unterschiedliche Fragen. Das archimedische Prinzip in der NASA-Erklärung besagt: Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. Es beschreibt damit eine Kraft, während unser Rätsel zunächst nach einem Volumen fragt.

Für die Lösung genügt die geometrische Raumbilanz. Das Auftriebsprinzip wird besonders hilfreich, sobald ein Gegenstand schwimmt und seine Eintauchtiefe nicht vorgegeben ist. Dann muss man berücksichtigen, wie sich seine Gewichtskraft und der Auftrieb ausgleichen.

Diese Unterscheidung verhindert einen verbreiteten Rechenfehler: Ein Gegenstandsgewicht in Gramm lässt sich nicht ohne weitere Bedingungen als verdrängtes Volumen in Millilitern einsetzen. Ein vollständig eingetauchter Gegenstand und ein frei schwimmender Gegenstand erfordern unterschiedliche Überlegungen.

Beim Baseball zählt nur der Teil unter Wasser

Beim Baseball muss die Darstellung genau gelesen werden: Ist er vollständig eingetaucht, teilweise eingetaucht oder frei schwimmend? Ragt ein Teil über die Wasseroberfläche hinaus, gehört dieser obere Teil nicht zum verdrängenden Unterwasservolumen. Aus dem gesamten sichtbaren Balldurchmesser allein ergibt sich deshalb noch kein exakter Wert.

Für einen frei schwimmenden Körper im Gleichgewicht gilt, dass die verdrängte Wassermenge dieselbe Gewichtskraft hat wie der Körper. Die University of Texas erläutert diesen Zusammenhang für schwimmende Körper. Ein Ball darf daher nicht pauschal so behandelt werden, als läge sein gesamtes Volumen unter der Oberfläche.

Für die Rätselauswertung heißt das: Ein groß gezeichneter Baseball kann eine große Verdrängung nahelegen. Die Zeichnung ersetzt jedoch keine Angabe über seine tatsächliche Eintauchung. Ohne solche Angaben bleibt die Lösung an die erkennbaren Modellannahmen gebunden.

Warum Gewicht und sichtbare Größe nicht ausreichen

Ob ein Körper sinkt oder schwimmt, hängt im einfachen Modell von seiner mittleren Dichte im Verhältnis zur Flüssigkeit ab. Die Oregon State University erklärt die Bedingungen für Sinken, Schwimmen und Schweben sowie den Unterschied zwischen vollständiger und teilweiser Eintauchung.

Für den Vergleich von Radiergummi und Armbanduhr reicht deshalb die Aussage „Die Uhr ist schwerer“ nicht aus. Sind beide vollständig eingetaucht, ist ihr verdrängendes Volumen für die Wasserbilanz entscheidend. Das Armband kann offen liegen, sodass Wasser seine Zwischenräume ausfüllt. Umgekehrt können abgeschlossene Bereiche Wasser ausschließen. Ohne Abmessungen und Bauweise lässt sich daraus keine verlässliche Reihenfolge ableiten.

Man kann somit die Büroklammer unter den genannten Annahmen als naheliegende Gewinnerin erklären und zugleich offenlassen, welcher der übrigen Gegenstände den zweiten oder dritten Platz belegt.

Eine Person betrachtet vier gleich hoch gefüllte Rätselgläser auf Höhe der Wasseroberflächen.

Gleiche Höhe ist bei verschiedenen Gläsern kein fairer Vergleich

Die Glasform kann das Ergebnis vollständig verändern. Ein breites Gefäß bietet bei gleicher Höhe mehr Innenraum als ein schmales. Bei einem idealen Zylinder wächst das Volumen mit dem Quadrat des Innenradius, wie aus der Zylinderformel der NASA folgt. Doppelt so großer Innenradius bedeutet bei gleicher Höhe den vierfachen Raum.

Ein zweites frei gewähltes Beispiel zeigt die Konsequenz: Das schmale Glas bietet bis zur Wasserlinie 200 Milliliter Raum und enthält einen Gegenstand mit 1 Milliliter Verdrängung. Darin bleiben 199 Milliliter Wasser. Ein breiteres Glas bietet 350 Milliliter Raum; selbst bei 40 Millilitern Verdrängung bleiben dort 310 Milliliter Wasser. Hier gewinnt das breitere Glas trotz des größeren Gegenstands.

Deshalb sollte man die Außenkontur eines Bildes nicht vorschnell als Beweis identischer Innenräume ansehen. Auch unterschiedlich dicke Glasböden könnten einen Vergleich der Wasserhöhe vom Tisch aus irreführend machen.

Wie man eine Wasserlinie richtig vergleicht

Bei einer echten Messung ist die Oberfläche am Glasrand nicht vollkommen eben. Sie bildet eine Krümmung, den Meniskus. Für Wasser in einem geeigneten gläsernen Messgefäß wird am unteren Punkt dieser Krümmung abgelesen. Der U.S. Geological Survey zeigt und erklärt diesen Ablesepunkt.

Für einen eigenen Vergleich betrachtet man die Gefäße auf Augenhöhe und von derselben Seite. So lässt sich die gewählte Vergleichslinie besser zuordnen. In einer schrägen Aufnahme können Wasserflächen und Glasränder dagegen schwer auseinanderzuhalten sein. Eine dicke blaue Linie in einer Illustration ist zudem keine präzise Messskala.

Das ist vor allem dann relevant, wenn sich zwei Verdrängungsvolumina nur wenig unterscheiden. Bei einer groben Zeichnung kann die Unsicherheit der dargestellten Wasserhöhe größer sein als der Unterschied, den man herauslesen möchte. Dann bleibt eine quantitative Antwort offen.

Was ein eigener Vergleich zeigen könnte

Wer die Idee praktisch prüfen möchte, kann mit identischen transparenten Gefäßen und einfachen, wasserbeständigen Modellkörpern arbeiten. Eine wertvolle Vergleichsgröße ist das Wasser, das zusätzlich hineinpasst, nachdem der jeweilige Körper im Gefäß liegt und bis zur gemeinsamen Linie aufgefüllt wird. Die Armbanduhr und der Baseball aus der Rätselillustration müssen dafür nicht als echte Versuchsgegenstände verwendet werden.

Für eine Auswertung werden die zugegebenen Wassermengen in derselben Einheit notiert. Ein Milliliter entspricht einem Kubikzentimeter; diese Gleichheit führt das National Institute of Standards and Technology in seiner Übersicht der Volumeneinheiten auf. Damit lassen sich auch geometrisch berechnete Körpervolumina mit einer Wassermenge vergleichen.

Das wäre ein neu durchgeführter Modellversuch. Seine Ergebnisse würden die verwendeten Gefäße und Modellkörper beschreiben, nicht nachträglich die unbekannten Maße der ursprünglichen Rätseldarstellung belegen. Eine Messung ist dann besonders nützlich, wenn sie die Frage samt ihren Bedingungen ausdrücklich festhält.

Welche Antwort sich für das Vier-Gläser-Rätsel vertreten lässt

Eine vollständige Antwort nennt den Gegenstand und die Voraussetzung: Bei identischen Glasinnenräumen und gleicher Wasserhöhe enthält das Büroklammerglas am meisten Wasser, sofern die Klammer das kleinste verdrängte Volumen hat. Diese Formulierung erklärt den Lösungsweg und lässt sich an einer konkreten Darstellung überprüfen.

Die Antwort „Glas A“ wäre erst dann ebenso brauchbar, wenn A nachweislich das Büroklammerglas bezeichnet. Aus der vorliegenden Beschreibung lässt sich diese Zuordnung nicht unabhängig bestätigen. Ebenso wenig lassen sich exakte Milliliterwerte oder eine vollständige Rangfolge aller vier Gläser bestimmen. Dafür bräuchte man zusätzliche Messdaten.

Die hier vorgesehenen Illustrationen veranschaulichen das physikalische Modell. Sie sind keine Messaufnahmen des ursprünglichen Rätsels und liefern deshalb auch keine zusätzlichen Beweise für dessen genaue Gegenstandsgrößen.

Abschließend

Beim Vier-Gläser-Wassertest entscheidet der für Wasser verbleibende Raum unterhalb der Oberfläche. Haben die Gläser denselben Innenraum bis zu dieser Höhe, enthält das Glas mit der kleinsten Verdrängung am meisten Wasser. Für die beschriebene Zusammenstellung ist die Büroklammer die naheliegende Lösung. Beim Baseball muss dessen Eintauchung berücksichtigt werden; bei Uhr und Radiergummi fehlen Daten für eine genaue Rangfolge. Die hilfreiche Frage lautet deshalb: Welcher Gegenstand schließt unter der gemeinsamen Wasserlinie am wenigsten Wasser aus?

Beliebte Fragen

→ Wäre ein fünftes Glas ohne Gegenstand der Gewinner?: Ja, sofern es innen mit den anderen Gläsern identisch ist und dieselbe Wasserhöhe hat. Ohne Gegenstand steht der gesamte Innenraum bis zur Vergleichslinie für Wasser zur Verfügung. Diese Antwort folgt unmittelbar aus der Raumbilanz und setzt voraus, dass keine weiteren Unterschiede zwischen den Gefäßen bestehen.
→ Ändert Drehen die Verdrängung eines vollständig eingetauchten Radiergummis?: Im vereinfachten Modell eines festen Körpers ohne eingeschlossene Luft bleibt sie gleich. Ob der Radiergummi längs oder quer liegt, verändert sein Volumen nicht. Anders kann es aussehen, wenn durch das Drehen ein Teil aus dem Wasser ragt oder zuvor eingeschlossene Luft entweicht.
→ Was wäre, wenn zuerst überall gleich viel Wasser eingefüllt würde?: Dann wäre die Ausgangsbedingung eine andere. Bei identischen Gläsern würde ein anschließend eingetauchter Gegenstand den Wasserstand entsprechend seinem verdrängten Volumen anheben, solange nichts überläuft. Die Wassermenge bliebe dabei gleich. Im beschriebenen Rätsel wird dagegen dieselbe endgültige Wasserhöhe verglichen.
→ Kann man die Wassermenge einfach am Gesamtgewicht erkennen?: Eine Waage unter dem gefüllten Glas erfasst Glas, Gegenstand und Wasser gemeinsam. Ohne die einzelnen Massen auseinanderzuhalten, beantwortet diese Anzeige die Rätselfrage nicht. Ein schwerer Gegenstand kann das Gesamtgewicht erhöhen, obwohl im Gefäß weniger Wasser enthalten ist. Gesucht ist hier ausdrücklich das Wasservolumen.
→ Muss für die Lösung die genaue Größe der Büroklammer bekannt sein?: Für eine genaue Milliliterzahl ja. Für die qualitative Lösung genügt die begründete Annahme, dass ihr verdrängtes Volumen kleiner ist als das aller anderen Gegenstände. Ist dieser Größenvergleich aus der Darstellung nicht erkennbar, bleibt die Antwort bedingt. Die Gegenstandsnamen allein sind keine vollständigen Messdaten.